34-06.分散/標準偏差/偏差値

分散/標準偏差/偏差値とは？

データのばらつきを表現する値として、「分散」「標準偏差」「偏差値」について解説します。

分散

分散とは、平均値からのデータのばらつきを表す値です。

分散が小さいほど、平均値にデータが集まっていることを表します。一方、分散が大きいほど、平均値からデータがばらついていることになります。

分散は、次の計算式で求めることができます。

この計算式の意味を確認していきます。

つまり、分散は「平均値と各データの差分を2乗した値の平均値」の計算に等しくなります。

次のテストの点数を例に、分散を計算してみます。

氏名	点数\(（x^i）\)	①：\((x^i-\bar x)^2\)
Aさん	60	36
Bさん	90	576
Cさん	100	1156
Dさん	70	16
Eさん	60	36
Fさん	60	36
Gさん	40	676
Hさん	80	196
Iさん	70	16
Jさん	30	1296
合計	660	②：4040
平均	66	③：404
分散\((V)\)	-	404

したがって、分散は「404」となることが分かります。

標準偏差

標準偏差もデータのばらつきを表す値です。

分散と同様、標準偏差が小さいほど、データが平均値に集まっていることになります。逆に標準偏差が大きいほど、平均値からデータがばらついていることを表します。

標準偏差は、分散の平方根（ルート）を計算した値になります。

標準偏差の計算式の意味を確認していきましょう。

テストの点数を例に、標準偏差を計算してみます。

氏名	点数\(（x^i）\)	①：\((x^i-\bar x)^2\)
Aさん	60	36
Bさん	90	576
Cさん	100	1156
Dさん	70	16
Eさん	60	36
Fさん	60	36
Gさん	40	676
Hさん	80	196
Iさん	70	16
Jさん	30	1296
合計	660	②：4040
平均	66	③：404
分散\(（V）\)	-	404
標準偏差\(（σ）\) （平方根）	-	④：20.1

したがって、標準偏差は「20.1」と計算することができました。

［補足］分散と標準偏差の単位

分散も標準偏差もデータのばらつきを表す指標ですが、分散と標準偏差では、単位の次元が異なります。

具体的には、分散はデータの単位の2乗、標準偏差の単位は、元データと同じ（1乗）になります。この理由は、分散がデータの差分を2乗して計算することに対し、標準偏差は分散の平方根をとるためです。

標準偏差は、元データとの単位の次元が等しいため、ばらつきを表現する指標として多く利用されます。

偏差値

偏差値とは、自分のテストの点数が、受験者全体のどの程度かを表す値です。

偏差値「50」を閾値に、平均点よりも高い、低いが決定します。

偏差値は次の計算で求めることができます。

偏差値の計算式を確認していきます。

実際に、偏差値を計算してみましょう。

氏名	点数\(（x^i）\)	①：\((x^i-\bar x)\)	②：\(①/σ\)	偏差値 ③：\(②×10＋50\)
Aさん	60	-6	-0.3	47
Bさん	90	24	1.19	61.9
Cさん	100	34	1.69	66.9
Dさん	70	4	0.2	52
Eさん	60	-6	-0.3	47
Fさん	60	-6	-0.3	47
Gさん	40	-26	-1.29	37.1
Hさん	80	14	0.7	57
Iさん	70	4	0.2	52
Jさん	30	-36	-1.79	32.1
合計	660	-	-	-
平均	66	-	-	-
分散\(（V）\)	404	-	-	-
標準偏差\(（σ）\)	20.1	-	-	-

テストの平均点は「66点」なので、「点数が66点より高いの人は偏差値が50より高く」、「66点より低い人は、偏差値が50より低く」なると分かります。

【まとめ】分散/偏差/標準偏差

それでは最後におさらいをしておきましょう！

用語	説明
分散	平均値からのデータのばらつきを表す値 \(V={1 \above 1pt n}\sum{_{i=1}^n}(x^i-\bar x)\)
標準偏差	平均値からのデータのばらつきを表す値 分散の平方根で計算 \(σ= \sqrt {{1 \above 1pt n}\sum{_{i=1}^n}(x^i-\bar x)}\)
偏差値	テストの成績が、受験者全体のどの程度かを表す値 偏差値＞50：平均点より高い 偏差値＝50：平均点と同じ 偏差値＜50：平均点より低い \(偏差値={x^i-\bar x \above 1pt σ}×10+50\)