34-03.確率と統計(組み合わせ)

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組み合わせとは?

場合の数の考え方の1つに組み合わせがあります。組み合わせとは、データの集まりから任意の個数を選ぶ、選び方の総数です。

用語説明
場合の数ある事柄に対して、全部で何通りの場合があるかのこと
事柄が複数回起きる場合の数m通りの事柄がN回起きるときの場合の数
\(m×m×・・・m※=m^N[通り]\)
\(※mのN回(個)掛け算\)
複数の事柄が起きる場合数事柄A(m通り)とB(n通り)が起きる場合の数
\(m×n[通り]\)
順列データの集まり(n個)から任意の個数(r個)を並べた際の、並べ方の場合の数
\(nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)\)
組み合わせデータの集まり(n個)から任意の個数(r個)を選ぶ、選び方の場合の数
\(nCr=nPr/r!\)
[補足]r!(rの階乗):rから1までの数を全て掛け算

全体n個からr個を選ぶ組み合わせを\({}_nC_r\)と記述し、次の式で表すことができます。
※C: Combination(組み合わせ)

全体n個からr個を選ぶ組み合わせ
\({}_nC_r=\)\({}_nP_r  \above 1pt r! \)\(=\)\(n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1) \above 1pt r×(r-1)×(r-2)×・・・×1\)

※r!:rの階乗(かいじょう)
rから1までの数を全て掛け算する
例.3!=3×2×1

この公式は、『全体n個からr個を選ぶ組み合わせ(\({}_nC_r\))』は、『全体n個からr個並べる順列(\({}_nP_r\))』を『rの階乗(r!)』で割り求められると意味します。

また、分子は\({}_nP_r\)なので、『最初がn、最後が(n-r+1)までのr個の掛け算』を、分母はr!なので、『最初がr、最後が1までのr個の掛け算』になります。

具体的に、Aさん・Bさん・Cさんの3人から、2人選ぶ場合の組み合わせを考えます。

このとき、Aさん・Bさん・Cさんの3人から、2人選ぶ場合の組み合わせは次のように計算できます。

3人から2人選ぶ組み合わせ
\({}_3C_2=\)\({}_3P_2  \above 1pt 2! \)\(=\)\(3×2 \above 1pt 2×1\)\(=3[通り]\)
n3
r(選ぶ2
nr13212

この式は、『全体が3個から2個選ぶ組み合わせ 』は、『最初が3、最後が2(=3-2+1)までの2個の掛け算(3P2)) 』を分子に、『最初が2、最後が1までの2個の掛け算(2!)』を分母にした割り算により『3通り』と求められることを意味しています。

この具体例を樹形図(事柄を順番に書き出す表記法)でも確認をしておきましょう。

【例題】組み合わせ

『組み合わせ』の例題で確認しておきましょう。

a、b、c、d、e、fの6文字を任意に4個選んだとき、aとbが選ばれるのは、何通りか。

【解答・解説】
選んだ4個には、aとbが含まれるので、『a、b、?、?』になる。つまり、『?、?』の組み合わせを考えればよい。

c、d、e、fの4個から2個選ぶ組み合わせを計算すると、

4C2=4×3/2×1=12/2=6

したがって、6通り
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【まとめ】確率と統計(組み合わせ)

それでは、最後におさらいをしておきましょう!

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ぽん之助

20代サラリーマン、前職4年間で20個以上の資格に合格。ホワイト企業に転職を成功。
実体験を元に資格や勉強、転職、キャリアアップ、副業について、『ぽんぱす』で発信しています。
【保有資格】ネットワークスペシャリスト、情報処理安全確保支援士、CCNP、電気通信主任技術者(伝送/線路)、工事担任者総合種、AWS(SAA)その他多数。

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