34-02.確率と統計(順列)

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順列とは?

場合の数の考え方の1つに順列があります。順列は、データの集まりから任意の個数を並べた際の並べ方の総数です。

用語説明
場合の数ある事柄に対して、全部で何通りの場合があるかのこと
事柄が複数回起きる場合の数m通りの事柄がN回起きるときの場合の数
\(m×m×・・・m※=m^N[通り]\)
\(※mのN回(個)掛け算\)
複数の事柄が起きる場合数事柄A(m通り)とB(n通り)が起きる場合の数
\(m×n[通り]\)
順列データの集まり(n個)から任意の個数(r個)を並べた際の、並べ方の場合の数
\(nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)\)
組み合わせデータの集まり(n個)から任意の個数(r個)を選ぶ、選び方の場合の数
\(nCr=nPr/r!\)
[補足]r!(rの階乗):rから1までの数を全て掛け算

全体n個からr個並べる順列\({}_nP_r\)と記述し、次のように計算できます。
※P:Permutation(順列)

全体n個からr個並べる順列
\({}_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)\)

この公式は『全体がn個からr個並べる順列(\({}_nP_r\))』は、『最初がn、最後が(n-r+1)までのr個の掛け算』で求められると意味しています。

具体的に、Aさん・Bさん・Cさんの3人から、2人並べ、1番目がリーダー、2番目が副リーダーになる場合の順列を考えます。

このとき、Aさん・Bさん・Cさん3人から2人並べる順列は次のように計算できます。

3人から2人並べる順列
\({}_3P_2=3×2=6通り\)
\(・n(全体の個数)=3\)
\(・r(並べる個数)=2\)
\(・n-r+1(最後の数)=3-2+1=2\)

この式は、『全体が3個から2個並べる順列(\({}_3P_2\))』は、『最初が3、最後が2(3-2+1)までの2個の掛け算』により『6通り』と求められることを意味しています。

この具体例を樹形図(事柄を順番に書き出す表記法)でも確認をしておきましょう。

樹形図でも同様に、『6通り』であることが分かります。

【例題】順列

ITパスポート試験での『順列』の出題例を確認しておきましょう。

a、b、c、d、e、fの6文字を任意の順で1列に並べたとき、aとbが隣同士になる場合は、何通りか。

ア:120
イ:240
ウ:720
エ:1,440

出典:平成26年春期 問63
【解答・解説】
aとbが隣合わせになるのは、①(ab)、②(ba)と並んだ2つの場合があります。それぞれの場合の順列を考えます。

①(ab)と並ぶ場合
(ab)を1つの文字として考えればよいので、(ab) 、c、d、e、fの5文字を全て並べる順列を計算すると、
\({}_5P_5=5×4×3×2×1=120[通り]\)

②(ba)と並ぶ場合
①と同様に、(ab)を1つの文字として考えればよいので、(ba) 、c、d、e、fの5文字を全て並べる順列を計算すると、
\({}_5P_5=5×4×3×2×1=120[通り]\)

よって、①と②より
\(120+120=240[通り]\)
したがって、正解はイ:240となります。

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【まとめ】確率と統計(順列)

それでは、最後におさらいをしておきましょう!

用語説明
順列データの集まり(n個)から任意の個数(r個)を並べた際の、並べ方の場合の数
\({}_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)\)
※最初がn、最後が(n-r+1)までのr個の掛け算
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ぽん之助

20代サラリーマン、前職4年間で20個以上の資格に合格。ホワイト企業に転職を成功。
実体験を元に資格や勉強、転職、キャリアアップ、副業について、『ぽんぱす』で発信しています。
【保有資格】ネットワークスペシャリスト、情報処理安全確保支援士、CCNP、電気通信主任技術者(伝送/線路)、工事担任者総合種、AWS(SAA)その他多数。

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