組み合わせとは？
場合の数の考え方の１つに組み合わせがあります。組み合わせとは、データの集まりから任意の個数を選ぶ、選び方の総数です。
| 用語 | 説明 |
|---|---|
| 場合の数 | ある事柄に対して、全部で何通りの場合があるかのこと |
| 事柄が複数回起きる場合の数 | m通りの事柄がＮ回起きるときの場合の数 \(m×m×・・・m※=m^N［通り］\) \(※mのＮ回（個）掛け算\) |
| 複数の事柄が起きる場合数 | 事柄A（m通り）とB（n通り）が起きる場合の数 \(m×n［通り］\) |
| 順列 | データの集まり（n個）から任意の個数（r個）を並べた際の、並べ方の場合の数 \(nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)\) |
| 組み合わせ | データの集まり（n個）から任意の個数（r個）を選ぶ、選び方の場合の数 \(ｎCｒ＝ｎPｒ/r!\) ［補足］r!(rの階乗）:ｒから１までの数を全て掛け算 |
全体n個からr個を選ぶ組み合わせを\({}_nC_r\)と記述し、次の式で表すことができます。
※C: Combination（組み合わせ）
全体n個からr個を選ぶ組み合わせ
\({}_nC_r=\)\({}_nP_r \above 1pt r! \)\(=\)\(n×(n-1)×(n-2)×･･･×(n-r+1) \above 1pt r×(r-1)×(r-2)×･･･×1\)
※r!：rの階乗（かいじょう）
ｒから１までの数を全て掛け算する
例.3!＝3×2×1
\({}_nC_r=\)\({}_nP_r \above 1pt r! \)\(=\)\(n×(n-1)×(n-2)×･･･×(n-r+1) \above 1pt r×(r-1)×(r-2)×･･･×1\)
※r!：rの階乗（かいじょう）
ｒから１までの数を全て掛け算する
例.3!＝3×2×1
この公式は、『全体n個からr個を選ぶ組み合わせ（\({}_nC_r\)）』は、『全体n個からr個並べる順列(\({}_nP_r\))』を『rの階乗(r!)』で割り求められると意味します。
また、分子は\({}_nP_r\)なので、『最初がn、最後が（n-r+1）までのr個の掛け算』を、分母はr!なので、『最初がｒ、最後が１までのr個の掛け算』になります。
具体的に、Aさん・Bさん・Cさんの３人から、２人選ぶ場合の組み合わせを考えます。
このとき、Aさん・Bさん・Cさんの３人から、２人選ぶ場合の組み合わせは次のように計算できます。
3人から2人選ぶ組み合わせ
\({}_3C_2=\)\({}_3P_2 \above 1pt 2! \)\(=\)\(3×2 \above 1pt 2×1\)\(=3［通り］\)
・n（全体の個数）＝3
・r（選ぶ個数）＝2
・n−r＋1（最後の数）＝3－2＋1＝2
\({}_3C_2=\)\({}_3P_2 \above 1pt 2! \)\(=\)\(3×2 \above 1pt 2×1\)\(=3［通り］\)
・n（全体の個数）＝3
・r（選ぶ個数）＝2
・n−r＋1（最後の数）＝3－2＋1＝2
この式は、『全体が3個から2個選ぶ組み合わせ 』は、『最初が3、最後が2（=3-2+1）までの2個の掛け算（3P2)） 』を分子に、『最初が2、最後が1までの2個の掛け算（2!）』を分母にした割り算により『3通り』と求められることを意味しています。
この具体例を樹形図（事柄を順番に書き出す表記法）でも確認をしておきましょう。
【例題】組み合わせ
『組み合わせ』の例題で確認しておきましょう。
a、b、c、d、e、fの6文字を任意に４個選んだとき、aとbが選ばれるのは、何通りか。
【解答・解説】
選んだ４個には、aとｂが含まれるので、『a、ｂ、？、？』になる。つまり、『？、？』の組み合わせを考えればよい。
選んだ４個には、aとｂが含まれるので、『a、ｂ、？、？』になる。つまり、『？、？』の組み合わせを考えればよい。
c、d、e、fの４個から２個選ぶ組み合わせを計算すると、
4C2=4×3/2×1=12/2=6
したがって、6通り
【まとめ】確率と統計（組み合わせ）
それでは、最後におさらいをしておきましょう！
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