基数とは？
基数とは、1桁で表現できる数のことです。
具体的に、2進数は1桁で『0』と『1』の2つの数を表現できるので、基数は『2』です。同様に、10進数、8進数、16進数の基数はそれぞれ、10、8､16になります。つまり、N進数の基数はNです。
基数変換とは？
2進数から10進数など、別の基数の進数に変換することを基数変換と呼びます。
※以降、基数がNのN進数を\(（●）_N\)で表記します。
2進数からN進数（10進数/8進数/16進数）への基数変換
2進数からN進数（10進数/8進数/16進数）への基数変換は、次の計算により実施します。
| 基数変換前 | 基数変換後 | 基数変換の方法 |
|---|---|---|
| ２進数 | １０進数 | 一の位から順に2^0, 2^1,2^3・・・を掛けて足し算 ※2^n：2のn乗 |
| ８進数 | 『３桁』に区切り、２進数→１０進数→８進数に変換 | |
| １６進数 | 『４桁』に区切り、２進数→１０進数→１６進数に変換 |
2進数から10進数への基数変換
2進数から10進数への基数変換は、2進数の一の位から順に\(2^0、2^1、2^3・・・\)を掛けて足し算をします。
\\~→(2^0×1)+(2^1×0)+(2^2×0)+(2^3×1)
\\~=(1×1)+(2×0)+(4×0)+(8×1)
\\~=1+0+0+8
\\~=(9)_{10}\)
2進数から8進数への基数変換
2進数から8進数への基数変換は、2進数を一の位から『3桁』で区切り、2進数→10進数→8進数に変換し、数字を合わせます。
2進数を3桁で区切った際に、足りない桁は0で補います。
\\~→(2^0×1)+(2^1×1)+(2^2×0)
\\~=(1×1)+(2×1)+(4×0)
\\~=1+2+0
\\~=(3)_{10}
\\~=(3)_{8}・・・①\)
\((010)_2
\\~→(2^0×0)+(2^1×1)+(2^2×0)
\\~=(1×0)+(2×1)+(4×0)
\\~=0+2+0
\\~=(2)_{10}
\\~=(2)_{8}・・・②\)
したがって、①と②の数字を合わせると、
\((10011)_2＝(23)_8\)
となる。
10進数から8進数への基数変換が分からない場合は、『33-01.数と表現（2進数/10進数/8進数/16進数）』の関係表を復習しましょう。
2進数から16進数への基数変換
2進数から16進数への基数変換は、2進数をーの位から『4桁』で区切り、2進数→10進数→16進数に変換し、数字を合わせます。
2進数を4桁で区切った際に、足りない桁は0で補います
\\~→(2^0×0)+(2^1×1)+(2^2×0)+(2^3×1)
\\~=(1×1)+(2×1)+(4×0)+(8×1)
\\~=0+2+0+8
\\~=(10)_{10}
\\~=(A)_{16}・・・①\)
\((0001)_2
\\~→(2^0×1)+(2^1×0)+(2^2×0)+(2^3×0)
\\~=(1×1)+(2×0)+(4×0)+(8×1)
\\~=1+0+0+0
\\~=(1)_{10}
\\~=(1)_{16}・・・①\)
したがって、①と②の数字を合わせると、
\((11010)_2＝(1A)_{16}\)
となる。
10進数から16進数への基数変換が分からない場合は、『33-01.数と表現（2進数/10進数/8進数/16進数）』の関係表を復習しましょう。
N進数（10進数/8進数/16進数）から2進数への基数変換
N進数から2進数への基数変換は、次の計算により実施します。
| 基数変換前 | 基数変換後 | 基数変換の方法 |
|---|---|---|
| １０進数 | ２進数 | ２で割り、最後の商と余りを並べる |
| ８進数 | ８進数の１桁を『３桁』の２進数に変換し、数字を合わせる | |
| １６進数 | １６進数の１桁を『４桁』の２進数に変換し、数字を合わせる （A～Fは、１０進数に置き換え、2進数に変換） |
10進数から2進数の基数変換
10進数から2進数の基数変換には、10進数を2で割り続けた余りと最後の商を一の位から順番に並べます。
\\4÷2=2~余り 0・・・②
\\2÷2=1(④)~ 余り 0・・・③\)
したがって、
\((9)_{10}=(④③②①)_2=(1001)_2\)
8進数から2進数の基数変換
8進数から2進数への基数変換は、8進数の1桁→10進数→『3桁』の2進数に変換し、数字を合わせます。
8進数の1桁を2進数に基数変換した際に、足りない桁は０で補います。
\\3÷2=1(②)~余り 1・・・①\)
よって、
\((3)_8=(0②①)=(011)_2\)
\((2)_8=(2)_10
\\2÷2=1(②)~余り 0・・・①\)
よって、
\((3)_8=(0②①)=(010)_2\)
したがって、
\((23)_8
=(010011)_2=(10011)_2\)
16進数から2進数の基数変換
16進数から2進数への基数変換は、16進数の1桁→10進数→『4桁』の2進数に変換し、数字を合わせます。
\\10÷2=5 ~余り 0・・・①
\\5÷2=2 ~余り 1・・・②
\\2÷2=1 (④)~余り 0・・・③\)
よって、
\((A)_{16}=(④③②①)_2=(1010)_2\)
\((1)_{16}=(1)_{10}
\\1÷2=0(②)~余り 1・・・①\)
よって、
\((1)_{16}=(00②①)=(0001)_2\)
したがって、
(\(1A)_{16}=(00011010)_2=(11010)_2\)
【補足】2進数の小数→10進数
2進数の小数から10進数への基数変換には、2進数の小数第一位から順に、\(2^{-1} 、2^{-2} 、2^{-3}・・・\)を掛けて足し算します。
\\~→(2^1×1)+(2^0×1)+(2^{-1}×1)+(2^{-2}×0)+(2^{-3}×1)
\\~=(2×1)+(1×1)+(0.5×1)+(0.25×1)+(0.125×1)
\\~=2+1+0.5+0+0.125
\\~=(3.625)_{10}\)
【まとめ】数の表現（基数変換）
それでは最後におさらいをしておきましょう。
| 基数変換前 | 基数変換後 | 基数変換の方法 |
|---|---|---|
| ２進数 | １０進数 | 一の位から順に2^0, 2^1,2^3・・・を掛けて足し算 ※2^n：2のn乗 |
| ８進数 | 『３桁』に区切り、２進数→１０進数→８進数に変換 | |
| １６進数 | 『４桁』に区切り、２進数→１０進数→１６進数に変換 | |
| １０進数 | ２進数 | ２で割り、最後の商と余りを並べる |
| ８進数 | ８進数の１桁を『３桁』の２進数に変換し、数字を合わせる | |
| １６進数 | １６進数の１桁を『４桁』の２進数に変換し、数字を合わせる （A～Fは、１０進数に置き換え、2進数に変換） |
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